Fractales en la naturaleza - Benoit Mandelbrot

¿A quién se le podría ocurrir diseñar una teoría de las rugosidades y de las fragmentaciones y, además, aplicarlo a determinados campos como la bolsa para descifrar la variabilidad del valor de las acciones? Lo primero que vieron nuestros antecesores fueron rugosidades. Veían muy pocas cosas suaves como la luna o los ojos. La ciencia entró de lleno en lo suave y todo el mundo se olvidó de las rugosidades y de las fragmentaciones… todo el mundo menos una persona: Mandelbrot.

Clip sobre los patrones fractales en la naturaleza. Casi todo el conocimiento científico que tenemos sobre los fractales se lo debemos al matemático Benoît Mandelbrot, al que Eduard Punset ha entrevistado en

Del frances fractal, voz inventada por el matemático francés B. Mandelbrot en 1975, y este del latín fractus, quebrado. Figura plana o espacial, compuesta de infinitos elementos, que tiene la propiedad de que su aspecto y distribución estadística no cambian cualquiera que sea la escala con que se observe.

Introducción

No se puede hablar de fractales ni de geometría fractal, sin antes hablar de un matemático griego que vivió hace aproximadamente 2.300 años en Alejandría, Euclides.
Considerado el padre de la geometría clásica o plana, que lleva su nombre, la geometría euclidiana.
Esta, tiene cinco postulados básicos:

1. Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Así podemos describir el espacio físico usando los axiomas de Euclides, por eso durante mucho tiempo se consideró a las geometrías no euclidianas (que no cumple el quinto axioma, trigonometría esférica por ejemplo.) como una parte de las matemáticas interesante pero con poca aplicación práctica. Sin embargo a finales del siglo XIX, principios del XX, los trabajos de Planck o Einstein y la revolución de la mecánica cuántica influyeron en la aceptación de geometrías capaces de dar respuestas bajo las nuevas reglas a pesar de no ser euclidianas.
Dicho esto podemos empezar en 1.918 justo después de la guerra cuando un joven matemático francés publica un artículo titulado Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles, informe sobre la iteración de las funciones racionales en castellano, que cautiva al público especializado al punto de ser galardonado por la Academia Francesa de las Ciencias. En el artículo, Julia describió el conjunto fc descrito en la imagen de la izquierda. También podemos nombrar a Sierpinski y su triangulo, o a Koch y su copo de nieve. Pero el verdadero artífice de la revolución de los fractales es un brillante matemático de origen polaco llamado Benoit Mandelbrot.

El conjunto de Julia que se obtiene a partir de esta función se denota fc

Un algoritmo para obtener el conjunto de Julia:

No es el sobresaliente y extensísimo curriculum de Mandelbrot lo que lo hace especialmente relevante dentro del mundo de las geometrías no euclidianas, sino su tarea de investigación sobre ellas. Después de distintas aproximaciones y estudios sobre la serie de Julia entre otros, en 1.975 acuña el término fractal en su libro Les objets fractals, forme, hasard et dimension.
Sin embargo los conceptos que llevaron a Mandelbrot a la acuñación del término, fueron plasmados en su libro de 1.967 How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. En él, introdujo ideas como las dimensiones fraccionarias, la auto similitud o la vinculación de las matemáticas con formas naturales. Todas estas características propias de los fractales.
De How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension podemos decir que una forma fractal aumenta su medida cuanto más precisa sea la medición, tiene un nivel infinito de detalle y preservan la auto similitud sin importar la escala. Extendiendo un poco más una de las más importantes e interesantes según Mandelbrot un objeto es auto similar o auto semejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. También podemos distinguir tres tipos de auto similitud.

El conjunto Mandelbrot

Más

• Auto similitud exacta. Este es el tipo más restrictivo de auto similitud: exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).
• Cuasiautosimilitud. exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasi auto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.
• Auto similitud estadística. Es el tipo más débil de auto similitud: se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Podemos ver la auto similitud en el siguiente conjunto de imágenes.
También podemos expandir un poco más el concepto de dimensión fractal, las fórmulas que la definen tienen que ver con el recuento de las bolas necesarias para recubrir el conjunto o con el de cajas de una cuadrícula que contienen parte del conjunto, cuando las dimensiones de unas y otras tienden a cero. Podemos medir la dimensión fractal de objetos reales: líneas de la costa, nubes, árboles, etc., Con estas medidas podemos comparar objetos del mundo real con fractales
generados por algoritmos matemáticos. Podemos intuir que la dimensión fractal es un número que da cuenta de cuán completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se amplía el primero hacia escalas más y más finas. No existe una única dimensión fractal sino una serie de dimensiones que frecuentemente resulta equivalentes pero no siempre. Entre estas definiciones está la dimensión de Hausdorff-Besicovitch, la dimensión de la dimensión de empaquetamiento, la dimensión de homotecia y las dimensiones de Rényi. Ninguna de estas dimensiones debería ser tratada como universal, ya que a veces la discrepancia entre ellas está asociada a diferencias en la estructura interna del fractal. Aunque para un buen número de fractales clásicos los valores de las diferentes definiciones de dimensión fractal todas estas dimensiones coinciden, en general no son equivalentes.
En el desarrollo de este trabajo se desarrollaran todas las ideas aquí presentadas, así como sus aplicaciones.

Video interesante en YouTube (Aleman-German)


Fractales en la naturaleza